ELMATRIA

EKSPLORASI MATEMATIKA CERIA

Selasa, 23 April 2013

makalah filsafat ilmu (hiraki matematikia)

TELAAH TERHADAP BUKU
“THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS EDUCATION”
KARYA PAUL ERNEST


Bab XI: HIRARKHI MATEMATIKA


Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah
Filsafat Ilmu


Dosen Pengampu: Dr. Budi Usodo, M.Pd.



















Disusun oleh:

Yuridis M.D.A NIM. S851302080




PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
BAB I
PENDAHULUAN

Filsafat dalam matematika memagang peranan yang sangat penting dalam rangka mengorganisir konsep – konsep dalam matematika. Konsep – konsep yang terorganisir menimbulkan berbagai proses yang membuat pembelajaran matematika tersusun dari setiap jenjang nunur, dari yang sederhana hingga yang kompleks. Pendidikan matematika menjadi salah satu unsur paling penting untuk membawa matematika ke dalam hirakhinaya. a landasan untuk memahami filsafat pendidikan matematika di Indonesia, kita harus terlebih dahulu memahami tujuan pendidikan nasional di Indonesia. Selanjutnya implementasi dari tujuan pendidikan matematika harus dapat menjadi landasan untuk menguasai Iptek dalam kehidupan bermasyarakat dan bernegara bagi setiap warga sistem.
Pendidikan merupakan kegiatan yang disengaja dilakukan, dan merupakan niat yang mendasari  tercapainya tujuan pendidikan. Namun kesengajaan tidak diartikan secara abstrak, seperti, kesengajaan dianggap bahwa hal tersebut bukan mengarah pada keobjektifitasan tujuan sebenarnya. Setiap penjelasan bertujuan untuk menentukan kebutuhan kepemilikan pendidikan. Tujuan pendidikan merupakan niat individu maupun kelompok orang. Seperti yang diungkapkan oleh Sockett: “Kesengajaan tindakan  manusia harus berdiri di tengah-tengah penjelasan tentang tujuan kurikulum dan objektivitasnya” (Sockett, 1975: 152).
Bahwa setiap kelompok sosial pada umumnya memiliki tujuan dan pandangannya masing-masing dalam pendidikan. Hal tersebut tetap akan disesuaikan dengan ideologi maupun hal-hal yang mendasari kepentingan mereka dalam pendidikan. Dengan begitu, kita perlu untuk mempertimbangkan konteks dalam upaya pencapaian tujuan pendidikan secara lebih kompleks. Selain itu, penggunaan sarana untuk mencapai tujuan pendidikan juga menjadi salah satu yang perlu untuk dipertimbangkan agar  nilai-nilai pokok (embryonically) pendidikan hadir dalam pembelajaran. Nilai-nilai yang terkandung dalam pendidikan nantinya mampu untuk mengatasi serta mempertimbangkan pembatasan sarana pendidikan. Sehingga, keleluasaan sarana dalam filsafat pendidikan dapat ditentukan.
Seiring dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, teknologi, industri dan penerapan-penerapan baru dalam kehidupan manusia menjadikan matematika semakin mempunyai peranan penting. Matematika bukan hanya sebagai bahasa akan tetapi matematika telah menjadi media yang penting dalm mengembangkan ilmu pengetahuan, teknologi, industri, sosial dan budaya. Menurut Paul Ernest belajar adalah membangun pengetahuan melalui komunikasi, oleh karenanya pendidikan matematika harus membantu perkembangan kontruksi pengetahuan melalui keterkaitan aktif dan interaksi. Dalam bidang pendidikan diperlukan pula filsafat pendidikan yang menitikberatkan pada pelaksanaan prinsip-prinsip dan kepercayaan yang menjadi dasar dari filsafat umum dalam upaya memecahkan masalah atau persoalan pendidikan secara praktis. Filsafat pendidikan matematika dapat dikatakan sebagai sebuah maksud dan tujuan untuk pendidikan matematika, sebuah teori pembelajaran dan sebuah teori pengajaran matematika yang menerapkan teori pembelajaran dalam membangun tujuan tersebut.
Dalam makalah ini penulis lebih menfokuskan pembahasan pada tujuan pendidikan matematika, tujuan pendidikan dalam kelompok sosial dan ideologi pendidikan matematika. Selain dalam rangka pemenuhan tugas mata kuliah Filsafat Ilmu, diharapkan makalah ini dapat memberikan kontribusi dalam memahami maksud dari Ernest dalam bukunya The Philosophy of  Mathematics Education





BAB II
PEMBAHASAN

1.      Hierarki di Matematika
Bab-bab sebelumnya telah memberikan asumsi bahwa matematika memiliki struktur hirarkis yang tetap dan unik. Dengan kata lain pembelajaran matematika paling terorganisir dengan cara ini, bahwa kemampuan matematika
terstruktur dengan cara ini, dan masyarakat memiliki struktur hirarkis
tertentu, di mana pendidikan perlu mencerminkannya. Ini adalah asumsi yang mendalam secara sosial dan mendidik secara signifikan, menjamin bagian untuk mereka sendiri.

A. Apakah Matematika memiliki Hirarkis unik?
             Pertanyaan ini dapat dianalisis dalam dua bagian, tentang keberadaan dan keunikan struktur hirarkis matematika. Dengan demikian kita memiliki dua pertanyaan tambahan: apakah struktur hirarkis keseluruhan pengetahuan matematika itu ada? jika demikian, apakah struktur hirarkis nya unik dan tetap?
Hirarki dapat didefinisikan untuk setiap unsure pengetahuan matematika dengan struktur secara keseluruhan. Apakah itu struktur aksiomatik (berdasarkan aksioma dan aturan yang berpengauh), atau struktur definisi (berdasarkan istilah primitif dan ditetapkan suatu istilah lebih lanjut. Oleh karena itu hirarki didefinisikan sebagai berikut.  Hierarki ekspresi primitif (aksioma atau istilah primitif) terdiri dari level terendah (0). Ada Ekspresi E lainnya  dalam struktur dapat dicapai dalam beberapa jumlah minimum n aturan aplikasi (aturan inferensi atau definisi) dari ekspresi level 0. Angka n ini mendefinisikan tingkat ekspresi E dalam hirarki. Setiap Setiap ekspresi ditugaskan ke tingkat yang unik dalam hirarki. Sehingga setiap unsur pengetahuan matematika dapat diberi bentuk hirarki kanonik asalkan merupakan sistem matematika tunggal atau struktur, dihubungkan oleh inferensial atau hubungan definisi. Dari jumlah tersebut, hubungan inferensial yang paling tepat untuk diertimbangkan, karena mereka mencerminkan link pembenaran antara proposisi matematika dan formula, menyediakan struktur teori aksiomatik deduktif.
Dengan menggunakan perbedaan antara tingkat wacana formal, informal dan sosial matematika, kita melihat bahwa hirarki dapat didefinisikan untuk teori matematika formal yang tepat. Untuk bidang penyelidikan matematika informal mungkin tidak didefinisikan. Secara aksiomatik mungkin tidak sepenuhnya ditentukan, dan hubungan logis antara proposisi matematika informal mungkin tidak didirikan konklusif. Jadi di bawah ini kita akan fokus hanya pada matematika formal yang teoritis, atau teori-teori matematika informal, yang siap dijadikan formal. Sebaliknya kondisi untuk membangun hirarki tidak dapat dipenuhi.
Dua pertanyaan yang akan dibahas pada bab ini. Pertama, apakah keseluruhan struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Kita telah melihat bahwa untuk teori matematika formal, ada struktur hirarkis dengan aksioma himpunan tetap. Pilihan aksioma himpunan, bersama dengan spesifikasi dari aturan hubungan dan bahasa formal latar belakang, menentukan hirarkis teori matematika. Namun, matematika terdiri dari berbagai teori, banyak yang memiliki formulasi aksiomatik yang berbeda. Teori himpunan aksiomatik, misalnya, memiliki jumlah axiomatizations yang sangat berbeda seperti Teori Zermelo-Fraenkel dan
Godel-Bernays-von Neumann Teori (Kneebone, 1963). Di luar ini, banyak
matematikawan membuat variasi teori himpunan aksiomatik dengan menambahkan aksioma lebih lanjut (Jech, 1971; Maddy, 1984). Akibatnya, tidak ada struktur keseluruhan untuk matematika formal, karena banyak teori dan formula yang berbeda yang masing-masing memiliki struktur dan hirarki tersendiri. Selanjutnya, hampir setiap satu dari teori-teori aksiomatik tidak lengkap, menurut Teorema Godel(1931). Jadi ada kebenaran dari
Teori yang tidak memiliki tempat dalam hirarki deduktif.
Seperti yang kita lihat di awal bab, upaya oleh beberapa matematikawan besar abad ini membangun pengetahuan matematika dalam sistem dasar tunggal apakah menggunakan logika, formal atau intuisi, semua gagal. Demikian hasil meta-matematika memaksa kita untuk mengakui bahwa matematika terdiri dari banyaknya teori yang berbeda, yang ini tidak dapat direduksi menjadi sistem tunggal, dan bahwa tidak cukup untuk menangkap semua kebenaran bahkan dalam domain aplikasi. Oleh karena itu, pertanyaan tentang keberadaan keseluruhan matematika hirarki harus dijawab secara negatif. Namun, dalam keadilan, kami juga harus mempertimbangkan pertanyaan lemah. Apakah yang informal yang besar dan komprehensif struktur matematika ada, bahkan jika itu gagal untuk memenuhi kriteria ketat yang dibutuhkan untuk memberikan struktur yang jelas untuk matematika? Struktur seperti dapat ditemukan dalam Unsur Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki menyediakan akun sistematis matematika, dimulai dengan menetapkan teori, dan mengembangkan satu setelah yang lain teori utama murni, matematika struktural. Meskipun struktur Bourbaki tidak bisa dikatakan lengkap (dalam arti informal), untuk itu jalan keluar  aspek komputasi dan rekursif matematika, itu merupakan informal kodifikasi sebagian besar matematika. Apakah ini memberikan afirmatif menjawab pertanyaan yang banyak melemah? Jika kita mengakui bahwa hal itu terjadi, maka peringatan berikut harus diingat:

1
. porsi yang signifikan dari pengetahuan matematika dihilangkan;
2
.sistem ini tidak secara formal cukup baik didefinisikan untuk memungkinkan hirarki tetap pengetahuan matematika untuk menghasilkan;
3
. seluruh sistem bergantung pada asumsi teori klasik ditetapkan sebagai
dasar matematika;
4
. seluruh sistem budaya terikat, mencerminkan pertengahan abad kedua puluh
yang strukturalisme.
 
Jadi hanya dalam bentuk yang sangat lemah bisa kita
nyatakan bahwa ada struktur keseluruhan ke bagian penting dari matematika.

Pertanyaan kedua adalah sebagai berikut. Apakah dapat dipertimbangkan asumsi bahwa ada keseluruhan struktur pengetahuan matematika merupakan sebuah struktur yang unik dan tetap di mana hirarki dapat didasarkan? Pertanyaan ini memiliki dua bagian. Yang pertama berkaitan dengan keunikan struktur matematika. Yang kedua definability dari hirarki yang tepat dalam hal struktur ini. Kita telah melihat bahwa bagian kedua ini ini tidak bisa dipertahankan. Bahkan struktur yang disediakan oleh Bourbaki ini mengakui, untuk menjadi unik dan informal tidak cukup untuk definisi yang tepat dari hirarki. Jadi dalam arti ketat, kita sudah dapat menyatakan bahwa tidak ada hirarki yang unik untuk matematika.

Tapi mari kita beralih ke keunikan struktur matematika. Keunikan ini
tampaknya akan bergantung pada kesepakatan mengenai dasar matematika. Bourbaki
menetapkan dasar teoritis. Dengan mengabaikan perbedaan antara teori yang berbeda, dapatkah mengatur teori untuk memberikan yang unik dan universal sebagai dasar matematika? Pertanyaan ini harus dijawab dengan negatif. Ternyata klaim foundationist mengatakan bahwa matematika berdiri di atas pondasi yang unik gagal.
Ada setidaknya dua alternatif untuk fondasi teori himpunan matematika ada. Pertama, klaim bahwa Teori Kategori dapat memberikan landasan alternatif matematika, yaitu teori himpunan (Lawvere, 1966). Klaim ini belum sepenuhnya
dibenarkan, tetapi tetap merupakan tantangan untuk keunikan
teori himpunan. Memang, ada cabang dari kategori teori (teori Topos) yang intuisi logika klasik nya dapat dikurangi (Bell, 1981). Sejak teori aksioma himpunan diungkapkan dalam urutan pertama logika klasik, dapat dikurangi menjadi kategori teori.
Kedua, logika intuisionis menyediakan fondasi untuk matematika. Meskipun tidak semua
matematika klasik dapat dinyatakan dalam hal dasar ini, banyak program intuisionis telah direalisasikan untuk analisis, oleh Uskup (1967) dan lain-lain.
Selanjutnya, logika intuitionistic mengakomodasi kombinatorial matematika, seperti dasar teori himpunan matematika klasik. Jadi atas dasar kedua
argumen, klaim bahwa ada struktur yang unik untuk matematika disangkal.
Bahkan, sejarah matematika mengajarkan kita pelajaran yang berlawanan. Sepanjang
perubahan pengembangan matematika melalui restrukturisasi mendasar
konsep-konsep matematika, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Jadi meskipun
struktur memainkan peran sentral dalam mengorganisir pengetahuan matematika, beberapa struktur
nya terbentuk, den berubah seiring berjalannya waktu. Di sana
ada alasan untuk mengasumsikan bahwa proses ini akan berhenti, atau untuk mengasumsikan bahwa
teori dan formulasi ulang alternatif akan habis. Pandangan seperti pusat dengan konstruktivisme sosial, dan filsafat lain dari matematika yang
mengakui secara historisnya. Jadi tidak hanya itu tidak benar bahwa pada satu waktu
matematika dapat dijelaskan oleh struktur hirarkis tunggal yang unik, tetapi juga lebih. Struktur waktu apapun yang hadir akan berubah dan berkembang.
Dalam menyangkal pernyataan bahwa matematika memiliki struktur hirarkis yang unik,
perhatian telah terbatas pada logis, yaitu struktur deduktif matematika. Sebagaimana telah kita lihat hierarki dapat didefinisikan dengan cara lain,
terutama, sebagai hierarki istilah dan definisi. Sementara ini tidak hampir sama
signifikan dalam matematika sebagai struktur deduktif, argumen yang sama dapat
dialihkan ke bidang ini. Untuk struktur deduktif teori apapun disertai dengan
hirarki definisi, dan hampir sama banyak struktur definisi sebagai yang deduktif
ada. Jadi tidak ada hirarki yang unik
dari definisi. Tetapi, dunia hirarki juga digunakan dalam matematika. Dalam teori atau domain beberapa individu
hirarki tentu saja ada, seperti derajat Turing (berat) di
Teori rekursi (Bell dan Machover, 1977). Tapi ini sama sekali tidak melalui struktur bahkan fraksi yang signifikan dari pengetahuan matematika. Dengan demikian dapat dinyatakan dengan tegas bahwa matematika tidak memiliki struktur hirarkis keseluruhan, dan unik, bahkan ketika klaim ditafsirkan secara jelas.

Apakah matematika seperangkat komponen pengetahuan diskrit? Ada sebuah asumsi lebih lanjut mengenai sifat dan struktur pengetahuan matematika
yang layak
diperiksa karena proses pendidikannya. Ini adalah asumsi bahwa matematika dapat dianalisis ke dalam komponen pengetahuan diskrit, jumlah tidak terstruktur (atau lebih tepatnya mengatur) yang setia mewakili disiplin. Asumsi Ini
mensyaratkan bahwa proposisi matematika adalah pembawa
arti dan makna independen.

Berbeda antara wacana formal, informal dan sosial matematika, jelas bahwa klaim ini adalah yang terbaik untuk matematika formal. Untuk dua lainnya
domain mengandaikan berarti konteks, seperti yang akan dikatakan di bawah ini. Karena struktur
salah satu karakteristik pengetahuan matematika, klaim ini juga dapat behenti pada asumsi yang tidak beralasan bahwa ada struktur yang unik untuk matematika. Ini mungkin diperlukan sehingga ketika diskrit 'molekul' pengetahuan digabungkan kembali, tertentu dan ditentukan hasil utuh (unsure pengetahuan matematika). Kami memiliki asumsi ini di atas. Namun, praduga bahwa proposisi matematika adalah pembawa independen arti dan makna juga
gagal. Pertama-tama, ekspresi matematika formal yang mendapat artinya dari
teori aksiomatik atau sistem formal di mana mereka terjadi. Tanpa konteks ini mereka
kehilangan sebagian signifikansi mereka, dan struktur yang dikenakan oleh teori ini runtuh.
Kedua, ekspresi matematika formal yang eksplisit berasal semantiknya
makna dari interpretasi atau kelas interpretasi yang dimaksudkan terkait dengan
teori formal yang diberikan dan bahasa. Semantik tersebut telah menjadi bagian standar
dari logika formal sejak Tarski (1936). Gagasan ini telah diperpanjang untuk perbaikan teori-teori ilmiah formal dengan Sneed (1971), yang menambahkan kelas dimaksudkan melaui penafsiran struktur formal teori. Dengan demikian pemisahan
ekspresi matematika menjadi bagian-bagian terpencil dan diskrit m
enyangkal signifikansi mereka
dan semua makna semantik mereka. Ekspresi seperti akibatnya memiliki
sedikit mengklaim dianggap sebagai komponen 'molekul' pengetahuan matematika.
Bahkan lebih dari di atas, ekspresi wacana matematika informal yang
memiliki makna implisit terkait dengan teori latar belakang dan konteks keseluruhan.
Untuk aturan dan makna yang mengatur ekspresi tersebut tidak memiliki tepat
ketentuan formal, tetapi lebih bergantung pada aturan implisit penggunaan (Wittgenstein,
1953). Model semantik bahasa formal dan informal semakin
menggambar pada konteks tuturan (Barwise dan Perry, 1982). Apakah dinyatakan dalam
resmi atau bahasa informal, ekspresi matematika tidak dapat dianggap sebagai
berdiri bebas, independen pembawa makna. Dengan demikian matematika tidak dapat
direpresentasikan hanya sebagai seperangkat proposisi 'molekul', karena ini tidak mewakili
hubungan struktural antara proposisi, serta kehilangan mereka konteks-
makna tergantung.
B. Pendidikan Implikasi
Fakta bahwa disiplin matematika tidak memiliki hirarki yang unik
struktur, dan tidak dapat direpresentasikan sebagai kumpulan proposisi 'molekul', memiliki
implikasi pendidikan yang signifikan. Namun, pertama hubungan antara
disiplin matematika, dan isi dari kurikulum matematika perlu
dipertimbangkan.
Hubungan antara matematika dan kurikulum
Dua hubungan alternatif yang mungkin. (1) kurikulum matematika harus
pemilihan perwakilan dari disiplin matematika, meskipun dipilih dan
dirumuskan sehingga dapat diakses oleh peserta didik. (2) kurikulum matematika adalah
entitas independen, yang tidak perlu mewakili disiplin matematika. Paling
teori kurikulum menolak kemungkinan kedua ini, berdebat kasus umum bahwa
kurikulum harus mencerminkan pengetahuan dan proses penyelidikan dari
disiplin subjek (Stenhouse, 1975; Schwab, 1975; Hirst dan Peters, 1970). Formulir A
Kasus 2 yang amat satir oleh Benjamin (1971).
Studi perubahan kurikulum telah mendokumentasikan bagaimana perkembangan
matematika menimbulkan melalui tekanan yang diberikan oleh matematikawan perubahan dalam
Kurikulum matematika sekolah mencerminkan perkembangan ini (Cooper, 1985;
Howson et al., 1981). Secara umum, dalam pendidikan matematika itu diterima bahwa
isi kurikulum harus mencerminkan sifat disiplin
matematika. Penerimaan tersebut adalah baik implisit atau eksplisit, seperti dalam Thwaites (1979),
Confrey (1981) dan Robitaille dan Dirks:

pembangunan kurikulum matematika ... [hasil dari] beberapa
faktor yang beroperasi pada tubuh matematika untuk memilih dan merestrukturisasi
konten yang dianggap paling sesuai untuk kurikulum sekolah.
(Robitaille dan Dirks, 1982, halaman 3)
Sebuah seminar internasional tentang masa depan pendidikan matematika secara eksplisit
mempertimbangkan kemungkinan bahwa 'matematika nyata' tidak akan membentuk dasar dari
kurikulum matematika untuk semua orang (mayoritas akan mempelajari hanya 'berguna
matematika '). Namun, ini bertentangan dengan tiga pilihan lainnya yang dianggap,
termasuk pandangan yang paling diterima secara luas bahwa dibedakan tapi perwakilan
Kurikulum diperlukan (Howson dan Wilson, 1986).
Dari lima ideologi dibedakan dalam buku ini, tetapi semua pelatih industri
sangat mendukung kasus 1. Sebagai konsekuensi dari survei singkat ini, dapat dikatakan bahwa
prinsip bahwa kurikulum matematika harus menjadi pilihan wakil dari
disiplin matematika merupakan konsensus para ahli.
Jika kurikulum matematika karena itu untuk mencerminkan disiplin matematika
setia, tidak harus mewakili matematika sebagai memiliki unik, hirarkis tetap
struktur. Ada beberapa struktur dalam salah satu teori, dan tidak ada satu struktur
atau hirarki yang bisa dikatakan utama. Dengan demikian kurikulum matematika harus
memungkinkan untuk berbagai cara penataan pengetahuan matematika. Selain itu,
kurikulum matematika tidak harus menawarkan koleksi proposisi terpisah
konstitutif matematika. Untuk komponen matematika dengan berbagai
terstruktur dan saling terkait, dan hal ini harus tercermin dalam matematika
kurikulum.
Ini implikasi pendidikan memungkinkan kita untuk mengkritik Kurikulum Nasional
matematika atas dasar epistemologis. Untuk kurikulum matematika
direpresentasikan sebagai hirarki yang unik dari empat belas 'topik' (target pencapaian) di sepuluh
tingkat (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1989). Selanjutnya, pada setiap tingkat,
topik diwakili oleh sejumlah proposisi atau proses, dan penguasaan
disiplin matematika dipahami hasil dari penguasaan ini berbeda
komponen. Jadi Kurikulum Nasional memberitahukan matematika, bertentangan dengan
yang diterima prinsip kurikulum. Ini mewujudkan sebuah hirarki yang dibenarkan dalam
hal sifat matematika, serta menggambarkan pengetahuan matematika sebagai
seperangkat fakta diskrit dan keterampilan.
Sebuah pertahanan yang mungkin adalah bahwa kurikulum matematika mungkin gagal untuk mewakili
disiplin matematika dalam rangka memenuhi tujuan psikologis, seperti untuk
mewakili hirarki psikologis matematika.

2. Hirarki dalam Pembelajaran Matematika
A. The View bahwa Matematika Belajar adalah hirarkis
Hal ini sering mengklaim bahwa pembelajaran matematika adalah hirarkis, yang berarti bahwa ada
item pengetahuan dan keterampilan yang merupakan prasyarat yang diperlukan untuk pembelajaran
item berikutnya pengetahuan matematika. Pandangan tersebut diwujudkan dalam Piaget
teori perkembangan intelektual. Piaget mendalilkan urutan empat tahap
(Sensorimotor, pra-operasional, operasional konkrit, formal operasional) yang membentuk
hirarki pembangunan. Pelajar harus menguasai operasi pada satu tahap sebelum dia
siap untuk berpikir dan beroperasi pada tingkat berikutnya. Namun aspek hirarkis yang kaku
Teori Piaget telah dikritik (Brown dan Desforges, 1979). Memang Piaget diciptakan
istilah 'decalage' untuk menggambarkan hierarki-melanggar kompetensi.
Psikolog lain yang mengusulkan bahwa belajar adalah hirarkis adalah Gagne. Dia
berpendapat bahwa topik hanya dapat dipelajari ketika hierarki prasyarat telah
belajar.
 
[A] Topik (yaitu, item pengetahuan) pada tingkat tertentu dalam hirarki
mungkin tidak didukung oleh satu atau lebih topik pada tingkat yang lebih rendah berikutnya ... Setiap
individu tidak akan dapat belajar topik tertentu jika ia telah gagal untuk
mencapai salah satu topik bawahan yang mendukungnya.
(Gagne, 1977, halaman 166-7)
 
Gagne mengklaim bahwa dalam pengujian empiris, tidak satu pun dari hierarki topik nya memiliki pernah ada
Sudah lebih dari 3 persen dari kasus sebaliknya.
Demikianlah dua psikolog perwakilan berpengaruh dari perkembangan dan neo-
tradisi behavioris menegaskan bahwa belajar adalah hirarkis. Selanjutnya, kedua
psikolog telah membuat studi khusus matematika. Dalam matematika
pendidikan, telah ada penelitian empiris yang mengaku mengungkap belajar
hirarki dalam matematika. Sebuah proyek Inggris yang berpengaruh, Konsep di Sekunder
Matematika dan Sains, mengusulkan sejumlah 'hierarki pemahaman' di
beberapa bidang utama matematika sekolah (Hart, 1981). Penelitian ini menawarkan hingga
delapan tingkat hirarki dalam setiap topik yang diteliti.
Teori-teori dikutip dan karya empiris adalah pilihan kecil penelitian
peduli dengan mengidentifikasi hirarki dalam pembelajaran matematika. Penelitian tersebut,
mungkin ditambah dengan pemandangan absolut-foundationist dari sifat matematika,
telah menyebabkan kepercayaan bahwa pembelajaran matematika mengikuti
urutan hirarkis. Misalnya, pandangan ini diartikulasikan dalam Laporan Cockcroft.
Matematika adalah pelajaran yang sulit baik untuk mengajar dan belajar. Salah satu alasan
mengapa demikian adalah bahwa matematika adalah subjek hirarkis ... kemampuan untuk
melanjutkan ke pekerjaan baru sangat sering tergantung pada pemahaman yang cukup
dari satu atau lebih lembar kerja, yang telah pergi sebelum.
(Cockcroft, 1982, halaman 67, penekanan asli)
 
Hirarkis pandangan pembelajaran matematika memiliki ekspresi tertinggi dalam

Kurikulum Nasional dalam matematika, seperti yang kita lihat (Departemen Pendidikan dan
Science, 1989). Ini adalah spesifikasi hirarkis tetap dari kurikulum matematika
pada sepuluh tingkat, menjadi dasar yang sah untuk studi matematika dari semua
anak (dalam bahasa Inggris dan Welsh sekolah negeri) dari usia 5 sampai 16 tahun.
B. Kritik View hirarkis Pembelajaran Matematika
Hirarkis pandangan pembelajaran matematika bersandar pada dua asumsi. Pertama-tama,
bahwa selama konsep dan keterampilan pembelajaran 'diakuisisi. Jadi sebelum beberapa tertentu
pengalaman belajar peserta didik akan kekurangan suatu konsep atau keterampilan yang diberikan, dan setelah
pengalaman belajar yang tepat dan sukses pelajar akan memiliki, atau memiliki
diperoleh, konsep atau keterampilan. Kedua, bahwa akuisisi matematika
konsep atau keterampilan tentu tergantung pada kepemilikan dipelajari sebelumnya
konsep dan keterampilan. Ini hubungan ketergantungan antara konsep dan keterampilan memberikan
struktur pada hirarki belajar. Jadi untuk belajar konsep tingkat n +1, yang
pelajar harus sudah memperoleh bagian yang tepat dari konsep-konsep tingkat n (tapi
belum tentu semua tingkat itu). Akibatnya, menurut pandangan ini, matematika
pengetahuan terorganisir secara unik menjadi beberapa tingkatan diskrit. Masing-masing dari kedua
asumsi yang bermasalah, dan terbuka terhadap kritik.
Hubungan ketergantungan hirarkis antara konsep
Salah satu asumsi adalah bahwa ada hubungan hirarkis tetap ketergantungan antar
konsep dan keterampilan, sehingga hirarki unik konsep dan keterampilan. Dua utama
kritik dapat menguat terhadap asumsi ini. Pertama, mengandaikan bahwa
konsep atau keterampilan adalah suatu entitas yang dimiliki atau tidak dimiliki oleh peserta didik; ini
asumsi kedua, mengkritik bawah. Tapi tanpa asumsi ini tidak dapat
menyatakan bahwa konsep tingkat n +1, tergantung pada kepemilikan konsep tingkat
n. Untuk membuat klaim ini harus mungkin untuk mengklaim bahwa peserta didik determinately
memiliki, atau belum, konsep atau tingkat n atau n +1.
Kritik lebih substantif adalah bahwa keunikan hierarki belajar tidak
dikonfirmasi secara teoritis maupun empiris. Resnick dan Ford (1984) menyimpulkan mereka
review penelitian tentang hirarki belajar dengan peringatan bahwa mereka harus digunakan
dengan hati-hati, dan mengutip komentar Gagne tahun 1968 sebagai sisa valid: 'belajar A
hirarki ... tidak dapat mewakili rute unik atau paling efisien untuk setiap pelajar diberikan. '
(Halaman 57).
Sejumlah penelitian membandingkan efek instruksi berikut yang berbeda
urutan konsep dari hierarki yang diusulkan (Phillips dan Kane, 1973) atau
pencocokan pengetahuan peserta didik individu untuk hirarki belajar dengan cara yang berbutir halus
(Denvir dan Brown, 1986) menegaskan bahwa tidak ada hierarki paling menggambarkan urutan
atau struktur akuisisi pengetahuan setiap peserta didik. Meskipun banyak penulis melaporkan
efektivitas hierarki belajar bagi instruksi sequencing (Bell et al, 1983.;

Horon dan Lynn, 1980), kenyataannya adalah bahwa strategi alternatif sama efektifnya seperti
'Penyelenggara muka', 'pertanyaan tambahan' dan 'akhir prinsip dalam' sengaja
menggagalkan mereka asumsi memesan hirarkis (Begle, 1979; Bell et al, 1983;. Dessart,
1981). Dengan demikian studi pengajaran seperti tidak memberitahu kita bagaimana pengetahuan peserta didik 'terstruktur.
Pandangan umum para ilmuwan kognitif dan psikolog adalah bahwa
organisasi (dan alam) pengetahuan peserta didik yang istimewa, dan bahwa hal itu tidak bisa
digolongkan ke hirarki tetap tunggal. Oleh karena itu konsep peserta didik atau konseptual
struktur telah disebut 'konsepsi alternatif' atau 'kerangka alternatif'
(Easley, 1984; Gilbert dan Watts, 1983; Pfundt dan Duit, 1988). Sementara seperti
perbedaan pada skala mikro, gagasan bahwa pemahaman peserta didik di seluruh
topik matematika yang berbeda dapat disamakan dalam hirarki matematika secara keseluruhan
juga menolak (Ruthven, 1986, 1987;. Noss dkk, 1989).
Konsep sebagai entitas yang diakuisisi
Asumsi yang tersisa menyangkut sifat konsep-konsep matematika dan keterampilan,
namun pengobatan konsep saja sudah cukup untuk membangun argumen. 'Konsep' Istilah
memiliki dua makna psikologis. Arti sempit adalah bahwa suatu atribut atau set objek.
Hal ini dapat didefinisikan secara intensif, dengan cara mendefinisikan properti, atau luas, dalam hal
keanggotaan dari himpunan. Sebuah konsep dalam pengertian ini memungkinkan diskriminasi antara mereka
benda yang jatuh di bawahnya, dan mereka yang tidak. Konsep dalam pengertian ini adalah sederhana,
benda mental yang kesatuan. Pengertian luas tentang 'konsep' adalah bahwa struktur konseptual,
terdiri dari sejumlah konsep (dalam arti sempit) bersama-sama dengan hubungan
antara mereka (Bell et al., 1983). Struktur konseptual juga disebut skema, atau
'Konsep dengan interioritas' (Skemp, 1979). Hampir semua yang disebut sebagai konsep dalam
psikologi matematika, seperti konsep nilai tempat, atau bahkan konsep
sepuluh, memiliki ini pengertian luas tentang struktur konseptual, karena komponen anak perusahaan dapat
dibedakan dalam setiap konsep.
Mengingat perbedaan ini, tiga keberatan utama dapat diajukan terhadap asumsi
bahwa konsep-konsep yang diperoleh sekaligus, atau baik 'dimiliki' atau 'kurang' oleh peserta didik.
Pertama-tama, mengingat bahwa sebagian besar konsep sebenarnya struktur konseptual komposit, itu adalah
jelas bahwa konstruksi mereka harus menjadi proses diperpanjang pertumbuhan, daripada
semua atau tidak keadaan. Dalam pandangan dari keterkaitan yang kompleks antara
konsep, akuisisi konsep dapat menjadi urusan hampir seumur hidup.
Kedua, kepemilikan pembelajar konsep hanya dapat diwujudkan secara tidak langsung,
melalui penggunaannya, karena struktur mental adalah entitas teoritis yang tidak dapat
langsung diamati. Tapi penggunaan pembelajar konsep yang selalu harus berada dalam beberapa
konteks, sehingga konsep ini terkait dengan konteks penggunaan. Untuk abstrak 'esensi' dari
Konsep dari konteks penggunaan, dan mengklaim bahwa ini 'esensi' merupakan konsep
adalah dugaan. Pemikiran terkini dalam poin psikologi ke kontekstual terletak
sifat kognisi (Brown et al, 1989;. Lave, 1988; Solomon, 1989; Walkerdine,
1988). Memang, ada tubuh besar penelitian yang menunjukkan bahwa penggunaan pembelajar
suatu konsep atau keterampilan dalam konteks yang berbeda matematika sangat bervariasi (Carraher,

1988; Evans, 1988a). Jadi pemahaman pelajar tentang konsep tumbuh sesuai dengan
berbagai konteks penggunaan yang dikuasai, sekali lagi meruntuhkan anggapan bahwa yang
akuisisi adalah proses semua atau tidak.
Ketiga, gagasan bahwa konsep adalah unik specifiable obyektif yang ada
entitas, terbuka untuk kedua kritik filosofis dan psikologis, Bab 4 dan 5
memiliki ditampilkan. Hal ini diterima secara luas bahwa individu membangun pribadi yang unik
makna (Novak, 1987). Untuk mengklaim bahwa individu yang berbeda keduanya memiliki sama
konsep, bukan untuk mengatakan bahwa beberapa tujuan entitas identik, meskipun abstrak, adalah 'milik'
oleh mereka berdua. Hal ini akan merealisasikan lebih entitas teoritis murni hipotetis. Demikian
klaim hanyalah Facon de parler, yang berarti bahwa kinerja dua individu 'yang
sebanding. Sejak memperoleh konsep adalah proses mempengaruhi sebuah istimewa
konstruksi pribadi, tidak lagi berlaku untuk mengklaim bahwa peserta didik determinately
memiliki atau tidak memiliki konsep tertentu.
Secara keseluruhan, kita melihat bahwa klaim bahwa pembelajaran matematika mengikuti unik
hirarki belajar tidak dapat dipertahankan. Pembangunan individu konsep dan
hubungan mereka bersifat pribadi dan istimewa, bahkan jika hasilnya dapat dibagi
kompetensi. Vergnaud A dikatakan:
 
[T] dia hirarki kompetensi matematika tidak mengikuti total order
organisasi, sebagai teori tahap sayangnya menyarankan, melainkan
urutan parsial satu: situasi dan masalah yang mahasiswa program master progresif,
prosedur dan representasi simbolik yang mereka gunakan, dari usia 2 atau 3 sampai
sampai dewasa dan profesional pelatihan, lebih baik dijelaskan oleh seorang partialorder
skema di mana kita menemukan kompetensi yang tidak bergantung pada satu sama lain,
meskipun mereka semua mungkin memerlukan seperangkat kompetensi yang lebih primitif dan
[Mungkin] semua diperlukan untuk satu set yang lebih kompleks.
Vergnaud (1983, halaman 4)
Konsekuensi untuk Kurikulum Nasional Matematika
Diskusi ini memiliki konsekuensi untuk kerangka kurikulum hirarkis, dan karenanya
untuk Kurikulum Nasional dalam matematika (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan,
1989). Yang paling penting, tidak ada pembenaran psikologis untuk memaksakan unik,
struktur hirarkis tetap pada kurikulum matematika untuk semua anak dari usia 5
sampai 16. Hasil empiris dilaporkan di atas sebagian besar menyangkut porsi kecil dari
kurikulum matematika dan dibatasi usia dan rentang pencapaian. Bahkan di bawah ini
pembatasan menguntungkan, dugaan bahwa hirarki tunggal akurat mewakili
matematika psikologis harus ditolak. Di luar ini, kita telah melihat bahwa ada
alasan teoritis yang kuat mengapa hirarki tetap tidak bisa menjelaskan pembelajaran siswa.
Ditambah dengan penolakan sebelumnya epistemologis, hasilnya adalah kuat
kecaman dari kerangka pada prinsipnya, tanpa pengawasan rinci isinya.
Hal ini juga diperhatikan bahwa hampir semua argumen yang digunakan dalam kritik ini dapat
akan dialihkan ke area lain dari kurikulum, karena referensi rinci untuk
isi dari kurikulum nasional belum dilakukan.
Ketika isi rinci dari Kurikulum Nasional dalam matematika adalah
dibawa ke dalam diskusi, pembenaran yang mungkin dapat diantisipasi. Yaitu, bahwa
meskipun kurikulum tidak memiliki epistemologis atau psikologis
kebutuhan, namun mungkin mencerminkan pengetahuan terbaik yang tersedia tentang anak-anak
keseluruhan pencapaian dalam matematika.
Ada sejumlah besar pengetahuan tersebut tersedia dari skala besar
pengujian prestasi di Inggris dan negara-negara lain, seperti di Penilaian
Satuan Kinerja (1985), Hart (1981), Tombol dan Foxman (1989), Carpenter et al.
(1981), Lindquist (1989) dan Lapointe et al. (1989), Robitaille and Garden (1989),
dan Travers dan Westbury (1989). Informasi tersebut pasti produk budaya,
mencerminkan hasil dari kurikulum matematika dimediasi oleh institusi
struktur sekolah dan sistem penilaian. Namun demikian, ia menyediakan data dasar,
meskipun pragmatis, itu yang dikenakan kurikulum matematika hirarkis yang diusulkan dapat
divalidasi. Informasi tidak perlu sepenuhnya membatasi kurikulum baru, karena di sana
mungkin alasan yang jelas untuk mengubah aspek praktek masa lalu. Namun, mengingat ini
peringatan, setiap serius, pengembangan kurikulum berskala besar harus melakukan minimal
cek area kesepakatan dan ketidaksepakatan dimaksudkan dengan penelitian empiris, dan
membenarkan dan mengantisipasi penyimpangan yang besar.
Kurikulum Nasional dalam matematika telah mengabaikan masalah tersebut, dan tidak
mencerminkan keadaan saat ini pengetahuan. Keohane dan Hart (1989) dan Hart (1989)
menunjukkan bahwa tingkat satu dari kurikulum yang direncanakan meliputi isi yang ada
telah fasilitas sangat bervariasi. Tingkat empat termasuk dalam program studi
untuk anak-anak usia 8-16. Dalam sebuah penelitian dari sampel besar 11 tahun (Hart, 1981),
ada tingkat fasilitas menyebar dari 2 persen menjadi 95 persen pada item
sesuai dengan tingkat empat laporan pencapaian.
Tidak hanya Kurikulum Nasional dalam matematika kekurangan apapun paritas dengan, atau
referensi untuk, hasil penelitian empiris. Kelompok Kerja Matematika
diperintahkan oleh ketuanya, D.Graham, tidak peduli dengan hal-hal tersebut.
 
[T] ia kelompok tidak diharapkan untuk datang dengan air-ketat berbasis penelitian
rekomendasi, diharapkan untuk mencerminkan praktek yang baik dalam cara pragmatis.
(Nash, 1988, halaman 1)
 
Ini menggambarkan kenyataan bahwa tidak ada upaya untuk mengembangkan Nasional
Kurikulum berdasarkan penelitian, apalagi untuk menguji secara empiris. Sebaliknya, ia diletakkan
bersama-sama oleh sebuah komite, bekerja sebagai tiga sub-komite, dalam hitungan beberapa
minggu. Secara keseluruhan, telah terbukti kurang memiliki epistemologis atau psikologis
validitas, asumsi hirarki nya. Mengingat statusnya, dan sumber daya yang tersedia,
ini sangat lalai penciptanya (pemerintah).

3. Hirarki dari Kemampuan Matematika
A. hirarkis View of Kemampuan Matematika
Kecerdasan umum telah dianggap oleh psikolog sebagai tetap, bawaan jiwa
kekuasaan, seperti kutipan berikut dari Schonell menunjukkan.
 
Kecerdasan umum dapat didefinisikan sebagai, kekuatan mental serba bawaan
tapi yang sedikit diubah dalam derajat oleh lingkungan meskipun yang
realisasi dan arah ditentukan oleh pengalaman.
(Tansley dan Gulliford, 1960, halaman 24)
 
Meskipun luas, pandangan ini tidak dimiliki oleh semua psikolog modern (Pigeon,
1977). Namun demikian, karena kemampuan matematika 'telah diidentifikasi sebagai faktor utama
kecerdasan umum (Wrigley, 1958), mungkin juga telah memberi kontribusi pada
persepsi yang berkembang luas bahwa kemampuan matematika seseorang adalah tetap dan
bertahan. Dalam analisis penetrasi Ruthven (1987) menunjukkan bahwa persepsi ini
luas, dan sering terlihat oleh para guru dan orang lain sebagai penyebab utama
berbagai tingkat pencapaian dalam matematika. Dia menggunakan istilah 'kemampuan stereotip'
karena kecenderungan guru untuk menghibur persepsi stabil kemampuan murid bersama-sama
dengan harapan prestasi mereka, bahkan dalam menghadapi bukti sebaliknya.
 
Akibatnya, murid individu tampaknya tunduk pada bentuk stereotip di
dimana guru ciri mereka dalam hal ringkasan, penghakiman dunia
kemampuan kognitif dan menghibur Sejalan overgeneralized
harapan mereka.
(Ruthven, 1987, halaman 252)
 
Salah satu konsekuensi dari kemampuan sterotyping adalah bahwa, dalam kasus yang ekstrim, diamati
perbedaan kinerja pada tugas-tugas tertentu diambil sebagai indikasi dari
'Kemampuan matematika' dari setiap peserta didik. Sebuah contoh yang terkenal adalah 'tujuh tahun
perbedaan 'Cockcroft (1982). Hal ini dibahas setelah karakterisasi
pencapaian numerik 'rata-rata', 'jauh di bawah rata-rata' dan (implisit) 'banyak
di atas rata-rata anak-anak '
 
[T] di sini adalah 'tujuh tahun perbedaan' dalam mencapai pemahaman
nilai tempat yang cukup untuk menuliskan nomor yang
1 lebih dari 6399. Dengan ini dimaksudkan bahwa sementara 'rata-rata' anak bisa
melakukan tugas ini pada usia 11 tapi tidak pada usia 10, ada beberapa 14 tahun usia
yang tidak bisa melakukan itu dan beberapa 7 tahun yang bisa.
(Cockcroft, 1982, halaman 100)
 
Kutipan ini menunjukkan bahwa kinerja anak individu untuk barang tertentu
pada kesempatan tertentu terkait dengan, dan bahkan diambil sebagai indikator keseluruhan
membangun dari kemampuan matematika '. Pengandaian yang mendasari dan
konstruk global yang terus-menerus dari individu kemampuan matematika ', sehingga menimbulkan
tingkat pencapaian abadi, dikonfirmasi oleh kutipan berikut.

Bahkan jika tingkat rata-rata pencapaian dapat diangkat, kisaran
pencapaian kemungkinan akan tetap sama besar seperti pada saat ini, atau mungkin menjadi
masih lebih besar, karena setiap langkah yang memungkinkan semua siswa untuk belajar
matematika lebih berhasil akan menguntungkan pencapai tinggi sebanyak, dan
mungkin lebih dari, mereka yang pencapaian lebih rendah.
(Cockcroft, 1982, halaman 101).
 
Dalam kasus anak-anak yang pencapaian rendah dalam matematika dikaitkan
dengan kemampuan umum rendah, kursus matematika perlu secara khusus
dirancang untuk membangun jaringan ide-ide terkait sederhana dan aplikasi mereka
(Cockcroft, 1982, halaman 98)
 
Secara keseluruhan, ada asumsi luas, jelas dalam Cockcroft (1982), yang
ada hirarki linier tetap kemampuan matematika dari paling tidak mampu untuk
paling mampu (atau secara matematis berbakat), setiap anak dapat diberi posisi ini
hirarki, dan hanya sedikit menggeser posisi mereka selama tahun sekolah.
Salah satu hasil penting dari persepsi stereotip dan harapan
murid adalah penerapan tujuan terbatas untuk pendidikan matematika rendah
mencapai murid. Ruthven memberikan bukti ini, dan menyimpulkan bahwa
 
penekanan pada aktivitas berulang, pada pembelajaran instrumental, dan
perhitungan-mencerminkan persepsi stereotip kemampuan kognitif
murid yang kurang berhasil dan tujuan kurikulum yang sesuai bagi mereka, dan
harapan stereotip masa depan mereka, baik sebagai peserta didik dan sebagai anggota
masyarakat.
(Ruthven, 1987, halaman 250)
B. Kritik Tampilan Hirarkis Kemampuan Matematika
Ruthven (1987) memberikan kritik kuat kemampuan stereotip, berdebat pada
satu sisi, bahwa konsistensi pencapaian matematika siswa kurang dari adalah
seharusnya, bervariasi di kedua topik dan waktu. Di sisi lain, guru
harapan dan stereotip menjadi self-fulfilling, dan diferensiasi kurikulum
matematika yang membuat tuntutan kognitif tinggi dan rendah dari tinggi dan rendah mencapai
siswa, masing-masing, memperburuk setiap perbedaan yang ada. Kritik ini dapat
didukung melalui dua perspektif teoritis: sosiologis dan psikologis.
Sosiologis argumen untuk menolak pandangan hirarkis tetap kemampuan dalam
matematika berasal dari teori pelabelan. Sebuah hubungan yang kuat antara sosial
latar belakang dan kinerja pendidikan hampir semua jenis adalah salah satu terpanjang
Temuan didirikan dan terbaik didukung dalam penelitian sosial dan pendidikan
(Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b). Secara khusus, ada luas
bukti di Inggris dari korelasi kesempatan hidup pendidikan dan kelas sosial
(Meighan, 1986). Mungkin yang terbaik penjelasan teoretis didukung dari efek ini
didasarkan pada teori pelabelan, karena Becker (1963) dan lain-lain. Fitur kunci
individu label sebagai 'pencapai rendah matematika', misalnya, adalah bahwa sering

self-fulfilling. Jadi Streaming dengan kemampuan yang luas dalam pengajaran
matematika, meskipun hanya longgar terkait dengan pencapaian diukur, memiliki efek
pelabelan dengan kemampuan, sehingga mempengaruhi prestasi dalam matematika, menjadi diri
memenuhi (Meighan, 1986; Ruthven, 1987).
Dasar teori kedua untuk menolak pandangan hirarkis tetap kemampuan adalah
psikologis. Ada sebuah tradisi dalam psikologi Soviet yang menolak gagasan
kemampuan tetap, dan link perkembangan psikologis dengan pengalaman sosial dimediasi.
Perkembangan ini dipercepat politik oleh 1936 larangan Soviet pada penggunaan
tes mental, yang menghentikan penelitian tentang perbedaan kemampuan individu (Kilpatrick dan
Wirszup, 1976). Seorang kontributor mani tradisi ini adalah Vygotsky (1962), yang
mengusulkan bahwa bahasa dan pikiran berkembang bersama, dan bahwa kemampuan pembelajar
dapat diperpanjang, melalui interaksi sosial, di 'zona pembangunan proksimal'.
Interaksi pengembangan pribadi dan konteks sosial dan tujuan melalui
'Kegiatan' telah menjadi dasar dari Teori Kegiatan Leont'ev (1978) dan lain-lain.
Dalam tradisi ini secara keseluruhan, psikolog Krutetskii (1976) telah mengembangkan
konsep kemampuan matematika yang lebih cair dan kurang hirarkis dari itu
dibahas di atas. Dia pertama kali menawarkan kritik dari pandangan yang relatif tetap dari matematika
Kemampuan berasal dari tradisi psikometrik dalam psikologi. Dia kemudian menawarkan nya
Teori sendiri kemampuan matematika didasarkan pada proses mental yang dikembangkan oleh
individu yang digunakan dalam menyerang masalah matematika. Ia mengakui individu
perbedaan dalam pencapaian matematika, tapi memberikan bobot yang besar bagi perkembangan
dan pengalaman formatif peserta didik dalam mewujudkan potensi matematika nya.
 
Tentu saja, 'potensi' tidak konstan atau tidak dapat diubah. Guru harus
tidak berpuas diri dengan gagasan bahwa anak-anak bervariasi pertunjukan-
dalam matematika mengatakan-adalah cerminan dari tingkat kemampuan mereka. Kemampuan tidak
sesuatu yang ditahbiskan sebelumnya sekali dan untuk semua: mereka terbentuk dan dikembangkan melalui
instruksi, praktek dan penguasaan suatu kegiatan. Oleh karena itu kami berbicara tentang
perlunya pembentukan, pengembangan, budidaya dan meningkatkan kemampuan anak-anak,
dan kita tidak bisa memprediksi persis seberapa jauh perkembangan ini mungkin pergi.
(Krutetskii, 1976, halaman 4)
Tradisi ini psikologis Soviet memiliki dampak peningkatan pada matematika
pendidikan (Christiansen dan Walther, 1986; Crawford, 1989; Mellin-Olsen, 1987). Sekarang
semakin diakui bahwa tingkat kognitif respon siswa dalam matematika
ditentukan bukan oleh kemampuan 'mahasiswa, tetapi keterampilan dengan mana guru adalah
mampu terlibat siswa dalam matematika 'kegiatan'. Ini melibatkan pengembangan
pendekatan pedagogis dalam matematika yang sensitif dan berhubungan dengan siswa
tujuan dan budaya. Siswa diberi label sebagai 'matematis kurang mampu' secara dramatis dapat meningkatkan
tingkat kinerja ketika mereka menjadi terlibat dalam sosial dan budaya
kegiatan yang terkait dalam matematika (Mellin-Olsen, 1987).
Konfirmasi empiris lain dari fluiditas kemampuan dapat ditemukan di idiot
fenomena savant. Di sini, orang-orang yang dicap sebagai 'yg tdk dpt dididik' dapat melakukan pada
mengejutkan tingkat tinggi dalam domain di mana mereka telah bertunangan (Howe, 1989).
Secara keseluruhan, ada teoritis (dan empiris) dasar yang kuat untuk menolak tetap

tampilan hirarki dari kemampuan matematika, dan menghubungkan lebih banyak untuk sosial
pengembangan, yang berasal dari tradisi Soviet. Ditambah dengan sosiologis
argumen, ini terdiri dari kasus yang kuat terhadap pandangan hirarkis kemampuan dalam
matematika.











BAB III
PENUTUP

Pada  pembahasan ini penulisan memberikan kesimpulan bahwa:
1.      Setiap warga masyarakat mempunyai tanggung jawab untuk berpartisipasi mewujudkan tujuan pendidikan matematika, termasuk guru, murid, orang tua, ahli matematika, pendidik maupun politisi. Karena dengan Melibatkan berbagai jenis kelompok dalam proses menentukan tujuan akan lebih mudah direalisasikan, karena dalam pencapaian tujuan pendidikan matematika harus mengkombinasikan seluruh arah tujuan pendidikan yang ada, dan diarahkan pada satu tujuan pendidikan secara umum.
2.      Tujuan Pendidikan pada Kelompok Sosial ini ialah pendidikan yang ditujukan pada semua lapisan masyarakat dalam memberdayakan seluruh warga masyarakat untuk berpartisipasi pada sebuah institusi dan berbagi demi sebuah  kemakmuran pada masyarakat.
3.      Filsafat merupakan sebuah awal yang memerlukan teori tentang bagaimana pengetahuan dapat dikembangkan. Teori tersebut adalah komponen penting dari ideologi pendidikan. Oleh karena itu kita harus memahami ideologi dalam pendidikan matematika sehingga bisa mencapai tujuan yang spesifik dan lebih bermakna.


Tidak ada komentar:

Posting Komentar

what's your comment...???